입방체 베 지어 곡선 : 최대 기울기 및 충돌 회피?

Question

나는 우주선이 정거장에서 선착장으로 들어올 때 함께 여행하는 경로로 베지에 곡선을 사용하고 있습니다.

public class BezierMovement{ 
    public BezierMovement(){ 
     // start docking straight away in this test version 
     initDocking(); 
    } 

    private Vector3 p0; 
    private Vector3 p1; 
    private Vector3 p2; 
    private Vector3 p3; 

    private double tInc = 0.001d; 
    private double t = tInc; 

    protected void initDocking(){ 

     // get current location 
     Vector3 location = getCurrentLocation(); 

     // get docking point 
     Vector3 dockingPoint = getDockingPoint(); 

     // ship's normalised direction vector 
     Vector3 direction = getDirection(); 

     // docking point's normalised direction vector 
     Vector3 dockingDirection = getDockingDirection(); 

     // scalars to multiply normalised vectors by 
     // The higher the number, the "curvier" the curve 
     float curveFactorShip = 10000.0f; 
     float curveFactorDock = 2000.0f; 

     p0 = new Vector3(location.x,location.y,location.z); 

     p1 = new Vector3(location.x + (direction.x * curveFactorShip), 
         location.y + (direction.y * curveFactorShip), 
         location.z + (direction.z * curveFactorShip)); 

     p2 = new Vector3(dockingPoint.x + (dockingDirection.x * curveFactorDock), 
         dockingPoint.y + (dockingDirection.y * curveFactorDock), 
         dockingPoint.z + (dockingDirection.z * curveFactorDock)); 

     p3 = new Vector3(dockingPoint.x, dockingPoint.y, dockingPoint.z); 


    } 

    public void incrementPosition() { 

     bezier(p0, p1, p2, p3, t, getCurrentLocation()); 

     // make ship go back and forth along curve for testing    
     t += tInc; 

     if(t>=1){ 
      tInc = 0-tInc; 
     } else if(t<0){ 
      tInc = 0-tInc; 
     } 

    } 

    protected void bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, double t, Vector3 outputVector){ 

     double a = (1-t)*(1-t)*(1-t); 
     double b = 3*((1-t)*(1-t))*t; 
     double c = 3*(1-t)*(t*t); 
     double d = t*t*t; 

     outputVector.x = a*p0.x + b*p1.x + c*p2.x + d*p3.x; 
     outputVector.y = a*p0.y + b*p1.y + c*p2.y + d*p3.y; 
     outputVector.z = a*p0.z + b*p1.z + c*p2.z + d*p3.z; 

    } 
} 

곡선의 시작점이 우주선의 위치 및 끝 지점 도킹 베이의 입구 (빨간색 점 : 나는 배는 차 베 지어 곡선을 따라 시간 t에서 있어야 할 곳에 계산하는 간단한 알고리즘을 다이어그램에서). 우주선은 방향에 대해 정규화 된 벡터를 가지고 있으며, 도킹 베이는 우주선이 도착할 때 도킹 베이에 똑바로 정렬되도록 우주선이 이동해야하는 방향을 나타내는 다른 정규화 된 벡터를 가지고 있습니다 (다이어그램의 노란색 선)

녹색 선은 우주선의 가능한 경로이며 보라색 원, 우주선의 반지름입니다. 마지막으로 블랙 박스는 스테이션의 경계 상자입니다.

나는 두 가지 문제가 있습니다

우주선은 초

역을 통해 비행 할 수 없습니다 우주선 당 R 라디안에서 우회전 할 수 있어야하는데

이 내용은 다음과 같이 번역됩니다.

a). 배가 너무 세게 굴릴 필요가없는 경로를 제공하는 "곡선 인자"(제어점 길이)를 찾는 것.

b). 역과의 충돌을 피할 수없는 우주선 위치/방향 찾기 (그리고 그 상태에서 인도 할 수있는 경로를 만들어서 a 부분을 얻을 수 있음)

그러나이 두 가지를 모두 사용하면 , 나는 많은 행운을 찾지 못했다. 벡터, 상자, 점 및 구 사이의 교차점을 감지하는 코드가 있지만 베 지어 커브는 아직 없습니다. 두 점 사이의 거리를 찾을 수있는 함수도 있습니다.

어떤 도움을 대부분의 5 번째 또는 6 차 다항식을 해결하는 것을 포함

감사합니다, 제임스

Answer 1

는 큐빅 베 지어 곡선의 정확한 교차점을 찾기 감상 할 수있다. 더 실현 가능한 솔루션은 수치 방법을 사용하거나 베 지어 곡선을 세분화하는 것입니다.

protected void subdivide(
     Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, 
     Vector3 q0, Vector3 q1, Vector3 q2, Vector3 q3, 
     Vector3 q4, Vector3 q5, Vector3 q6) { 

    q0.x = p0.x; q0.y = p0.y; q0.z = p0.z; 
    q6.x = p3.x; q6.y = p3.y; q6.z = p3.z; 

    q1.x = (p0.x + p1.x) * 0.5; 
    q1.y = (p0.y + p1.y) * 0.5; 
    q1.z = (p0.z + p1.z) * 0.5; 

    q5.x = (p2.x + p3.x) * 0.5; 
    q5.y = (p2.y + p3.y) * 0.5; 
    q5.z = (p2.z + p3.z) * 0.5; 

    double x3 = (p1.x + p2.x) * 0.5; 
    double y3 = (p1.y + p2.y) * 0.5; 
    double z3 = (p1.z + p2.z) * 0.5; 

    q2.x = (q1.x + x3) * 0.5; 
    q2.y = (q1.y + y3) * 0.5; 
    q2.z = (q1.z + z3) * 0.5; 

    q4.x = (x3 + q1.x) * 0.5; 
    q4.y = (y3 + q1.y) * 0.5; 
    q4.z = (z3 + q1.z) * 0.5; 

    q3.x = (q2.x + q4.x) * 0.5; 
    q3.y = (q2.y + q4.y) * 0.5; 
    q3.z = (q2.z + q4.z) * 0.5; 
} 

q1은 .. q3은 첫 번째 세그먼트가된다. q3 .. q6이 두 번째 세그먼트가됩니다.

커브를 2-5 번 세분하고 제어점을 폴리 라인으로 사용하십시오.

---

curvature

각각의 세그먼트의 엔드 포인트에서 계산 될 수있다 :

protected double curvatureAtStart(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3) { 
    double dx1 = p1.x - p0.x; 
    double dy1 = p1.y - p0.y; 
    double dz1 = p1.z - p0.z; 

    double A = dx1 * dx1 + dy1 * dy1 + dz1 * dz1; 

    double dx2 = p0.x - 2*p1.x + p2.x; 
    double dy2 = p0.y - 2*p1.y + p2.y; 
    double dz2 = p0.z - 2*p1.z + p2.z; 

    double B = dx1 * dx2 + dy1 * dy2 + dz1 * dz2; 

    double Rx = (dx2 - dx1*B/A)/A*2/3; 
    double Ry = (dy2 - dy1*B/A)/A*2/3; 
    double Rz = (dz2 - dz1*B/A)/A*2/3; 

    return Math.sqrt(Rx * Rx + Ry * Ry + Rz * Rz); 
} 

---

은 문제 1 해결 곡선 몇 번을 세분화하고있는 곡률을 계산하도록 각 세그먼트의 끝점. 이것은 근사치 일 뿐이지 만 높은 곡률을 가진 세그먼트를 선택적으로 세분하여 그 영역에서 더 좋은 근사를 얻을 수 있습니다.

---

는 세 개의 곡선을 나눌 수 문제 2를 해결하려면 두 엔드 포인트에서 속도가 0 인

• 하나 (C0). 이렇게하면 직선이됩니다.
• 첫 번째 끝점에서 속도가 0이고 두 번째 끝에서 속도가 0 인 점 (C1).
• 첫 번째 끝점에서 속도 1이고 두 번째 끝점에서 0입니다 (C2).

동일한 방법으로 모든 커브를 세분화하면 최종 커브의 조절 점을 빠르게 평가할 수 있습니다. (직선 세그먼트로 평가) 더 세그먼트가 교차하지 않도록, 당신이 함께 유효 파라미터 범위를 찾을 수

C[i] = C0[i] + (C1[i] - C0[i])*v1 + (C2[i] - C0[i])*v2 

: 당신은 최종 지점에서 속도에 의해 매개 변수화 해당 컨트롤 포인트를 혼합 역. (v1 및 v2은 1.0 이상이 될 수 있음).