두 개의 초평면이 교차하는 평면을 찾는 방법은 무엇입니까?

Question

두 평면이 교차하는 선을 찾으려면 두 평면의 법선을 교차시켜야합니다. 이것은 단순히 외적 행렬의 행렬식을 고려된다

i j k 
x1 y1 z1 
x2 y2 z2 

(X, Y, Z)가 각 평면의 법선 벡터이다. 결과는 교차 선에 평행 한 벡터입니다. 거기에서 두 평면에있는 점을 찾아야합니다. 두 부분을 결합하면 완전히 정의 된 선을 얻을 수 있습니다.

평면에서 교차하는 초평면으로 어떻게 확장 할 수 있습니까? 나는 비슷한 행렬의 행렬식을 취할 필요가 있다고 생각 하겠지만, 내가 생각하는 행렬은 다음과 같다.

h i j k 
w1 x1 y1 z1 
w2 x2 y2 z2 

정방 행렬이 아니다. 또한 두 초평면에있는 점을 찾는 방법을 모르겠습니다.

누구나 초평면의 교차 평면을 찾는 방법을 설명 할 수 있습니까?

시간 내 주셔서 감사합니다.

Answer 1

간단한 변수 교체 만 수행하면 교차 평면을 얻을 수 있습니다.

3x + 4y + 2z - 7w = 10 
2x - 3y + 2z + 1w = 2 

그런 다음 w (또는 다른 변수)를 분리 할 수 ​​있습니다 : 예를 들어, 두 개의 초평면이

w = 2 - 2x + 3y - 2z 

을 첫 번째 방정식에서 교체 :

3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10 

어느 결과 :

17x - 17y + 16z - 14 = 10 

이제 교차 평면이 생겼습니다. 그냥 간단한 수학.

전체 4D 평면 표현은 먼저 17x - 17y + 16z - 14 = 10를 해결 한 다음 w = 2 - 2x + 3y - 2z를 사용 w을 계산 (x, y, z) 값을 찾아 두 방정식을 기반으로합니다.

Answer 2

간단한 변수 대체로 답이 잘못되었습니다. 3x + 4y + 2z - 7 (2 - 2x + 3y - 2z) = 10은 그 자체로 4 차원 공간에서 3 차원 초평면이고 4 차원 공간에서 주어진 2 차원 삼차원 초평면의 교차점을 나타내지는 않습니다 . 방정식에 하나의 변수가 적다는 사실은 객체의 차원을 감소시키지 않습니다.

유사 : y = 7은 y = x + 7과 마찬가지로 y = 7이 여전히 2 차원의 1 차원 선입니다. 그리고 z + y = 5는 여전히 x + y + z = 5와 같이 3d에서 2 차원 평면입니다.

3D에서 변수 대체가 작동하지 않습니다. 우리는 개요에 따라 교차 제품을 수행하며 4D에서는 작동하지 않습니다. 4D에서 2D 객체를 표현하는 데 2 ​​개의 방정식이 필요합니다 (두 개의 3D 하이퍼 플레인의 교차점은 2D 객체입니다.) 비유하자면 2D의 한 점으로 매핑되는 단일 "방정식"을 말해주십시오. y = 5x + 2는 선, y = x는 선, x = 6은 선, y = 0은 선입니다. 비록 우리가 4D에 있다면 간단한 방정식 y = 1조차도 3D 초평면입니다. 변수를 제거하는 것은 2D에서 0D 점에 대한 방정식을 얻거나 3D에서 1D 선에 대한 방정식을 얻는 방법이 아니며 4D에서 2D 교차점 2 차원 평면도를 얻는 방법이 아닙니다. 이 모든 것들은 그것들을 정의하기 위해 정확히 두 개의 동시 적 방정식을 필요로합니다.변수를 바꿀 수는 없습니다.

Answer 3

하이퍼 비행기에 해당하는 매트릭스 시스템 (Ax = b)을 설정 한 다음 솔루션 순위를 확인해야합니다. 그것은 심지어 해결책이 있는지, 만약 그렇다면 점/선/평면/등이 있는지 여부를 알 수 있습니다.

나는 질문이있다 : 사실이다 "R에서 n은 3 어두운 hyperlanes이^4 그들 사이의 교차는 모든 양의 정수에 대한면, n은되도록"