두 줄 사이의 최단 거리

Question

L1과 L2가 3D의 두 줄이라고 가정하고 P1과 P2를 L1, L2의 두 지점으로 가정합니다. 거리 (P2-P1)는 L1과 L2 사이의 최단 거리이다. 벡터 (P2-P1)는 L1과 L2 모두에 수직이어야합니까? 그렇다면 왜 그렇습니까? 2D 공간에서도 마찬가지입니까?

Answer 1

예. 그렇습니다. L1과 L2에 수직 인이 선을 상상해보십시오. 두 가지 경우가 있습니다. L1과 L2가 평행합니다 (두 경우 사이의 모든 수직선은 동일하거나 두 개의 프로펠러가 같은 샤프트에 있지만 각도가 다를 수 있습니다). 샤프트는 두 프로펠러에 직각)는 가장 짧은 거리를 나타냅니다. 어느 방향 으로든 프로펠러를 따라 움직여도 샤프트에서 멀어지면 분명히 거리가 늘어납니다.이 선은 직각 삼각형의 세 번째 빗변을 형성하기 때문에 거리가 가장 짧습니다 샤프트 자체와 같고 다른 한쪽은 프로펠러를 따라 움직이는 것과 같습니다.

두 프로펠러를 따라 움직이는 경우 명확하게 반대 방향으로 샤프트에서 벗어나면 거리가 늘어납니다. 프로펠러가 거의 정렬되어 있고 두 프로펠러를 따라 같은 방향으로 움직이면 두 개의 점 사이의 선이됩니다 ts는 직각 삼각형의 빗변 (hypotenuse)을 다시 나타낼 것이다. 여기서 한쪽은 두 프로펠러의 스핀 평면 사이의 거리이고, 다른 한면은 두 프로펠러 중 하나의 스핀 평면에있는 선이다.

Answer 2

함수 L1 × L2 가라 - L1과 L2에 두 점 P와 Q의 각각에 이들 간의 제곱 거리 부여> R \

f: L1×L2 -> \R 
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P) 

(Q - P)가 벡터 인

및 .가입니다 스칼라 곱. 함수 f가 최소 at (P1, P2)을 가질 때, 미분 df/dP와 df/dQ는 (P1, P2)에서 0이다. 무엇보다 :

을 DP :

df/dP = dP . (Q - P) 
df/dQ = dQ . (Q - P) 

하나주는 차이는 제로이다 (P1, P2)에 대한 상기 식을 평가하는 경우. (P2 - P1) = 0 dQ. (P2 - P1) = 0

dP 및 dQ은 각각 L1 및 L2와 동일 선상의 벡터이다. 이 두 방정식은 꼭 벡터 P2 - P1이 L1과 L2의 방향 벡터에 수직이라고 말합니다.