분석 그라디언트와 크게 다른 상징적 인 그라디언트

Question

나는 공유 목적지 xd 로의 이동 계획을 위해 인공 전위 필드를 사용하는 모바일 로봇 네트워크를 시뮬레이션하려고합니다. 이것은 계산식 시간과 정확도면에서 가장 좋은 방법 인 것처럼 상징적 인 표현식에서 일련의 m 파일 (각 로봇마다 하나씩)을 생성하여 수행됩니다. 그러나 그라디언트 계산에 어떤 문제가 있는지 파악할 수 없습니다. 계산중인 분석 그라디언트가 잘못되어있는 것 같지만 수치 그라디언트는 올바르게 계산됩니다 (아래 그림 참조). 아래에 나와있는 MWE를 작성했으며이 문제도 있습니다. 코드의 일부를 생성하는 파일을 검사하고 올바른 그라데이션으로 올바른 함수 파일을 반환합니다. 그러나 왜 분석적이며 수치적인 그래디언트가 다른지는 알 수 없습니다.

% create symbolic variables 
xd = sym('xd',[1 2]); 
x = sym('x',[2 2]); 

% create a potential function and a gradient function for both (x,y) pairs 
% in x 
for i=1:size(x,1) 

phi = norm(x(i,:)-xd)/norm(x(1,:)-x(2,:));   % potential field function 

xvector = reshape(x.',1,size(x,1)*size(x,2));  % reshape x to allow for gradient computation 
grad = gradient(phi,xvector(2*i-1:2*i));   % compute the gradient 
gradx = grad(1);grady=grad(2);      % split the gradient in two components 

% create function file names 
gradfun = strcat('GradTester',int2str(i),'.m');  
phifun = strcat('PotTester',int2str(i),'.m');  

% generate two output files 
matlabFunction(gradx, grady,'file',gradfun,'outputs',{'gradx','grady'},'vars',{xvector, xd}); 
matlabFunction(phi,'file',phifun,'vars',{xvector, xd}); 

end 

clear all    % make sure the workspace is empty: the functions are in the files 

pause(0.1)    % ensure the function file has been generated before it is called 

% these are later overwritten by a specific case, but they can be used for 
% debugging 
x = 0.5*rand(2); 
xd = 0.5*rand(1,2); 

% values for the Stackoverflow case 
x = [0.0533 0.0023; 
    0.4809 0.3875]; 
xd = [0.4087 0.4343]; 

xp = x;  % dummy variable to keep x intact 

% compute potential field and gradient for both (x,y) pairs 
for i=1:size(x,1) 

    % create a grid centered on the selected (x,y) pair 
    xGrid = (x(i,1)-0.1):0.005:(x(i,1)+0.1); 
    yGrid = (x(i,2)-0.1):0.005:(x(i,2)+0.1); 

    % preallocate the gradient and potential matrices 
    gradx = zeros(length(xGrid),length(yGrid)); 
    grady = zeros(length(xGrid),length(yGrid)); 
    phi = zeros(length(xGrid),length(yGrid)); 

    % generate appropriate function handles 
    fun = str2func(strcat('GradTester',int2str(i))); 
    fun2 = str2func(strcat('PotTester',int2str(i))); 

    % compute analytic gradient and potential for each position in the xGrid and 
    % yGrid vectors 
    for ii = 1:length(yGrid) 
     for jj = 1:length(xGrid) 

      xp(i,:) = [xGrid(ii) yGrid(jj)];    % select the position 
      Xvec = reshape(xp.',1,size(x,1)*size(x,2));  % turn the input into a vector 
      [gradx(ii,jj),grady(ii,jj)] = fun(Xvec,xd);  % compute gradients 
      phi(jj,ii) = fun2(Xvec,xd);      % compute potential value 

     end 
    end 

    [FX,FY] = gradient(phi);    % compute the NUMERICAL gradient for comparison 

    %scale the numerical gradient 
    FX = FX/0.005; 
    FY = FY/0.005; 

    % plot analytic result 
    subplot(2,2,2*i-1) 
    hold all 
    xlim([xGrid(1) xGrid(end)]); 
    ylim([yGrid(1) yGrid(end)]); 
    quiver(xGrid,yGrid,-gradx,-grady) 
    contour(xGrid,yGrid,phi) 
    title(strcat('Analytic result for position ',int2str(i))); 
    xlabel('x'); 
    ylabel('y'); 

    subplot(2,2,2*i) 
    hold all 
    xlim([xGrid(1) xGrid(end)]); 
    ylim([yGrid(1) yGrid(end)]); 
    quiver(xGrid,yGrid,-FX,-FY) 
    contour(xGrid,yGrid,phi) 
    title(strcat('Numerical result for position ',int2str(i))); 
    xlabel('x'); 
    ylabel('y'); 

end 

I가 발생하는 것을 시도하고 잠재적 필드에서, (x, y)의 위치에 의해 정의된다 (아래 here를 찾을 수있는 영상의 확대) 내 코드는 입니다. x은 차원 N x 2의 위치 행렬입니다. 첫 번째 열은 x1, x2 등을 나타내고 두 번째 열은 y1, y2 등을 나타냅니다. Xvec는이 벡터를 x1, y1, x2, y2, x3, y3 등으로 재구성하는 것입니다. 생성하는 matlab 함수는 벡터 입력 만 허용합니다.

로봇 i의 기울기는 미분 w.r.t를 사용하여 계산됩니다. x_i와 y_i와 함께이 두 요소는 함께 떨림 플롯에 표시된 단일 미분 '벡터'를 산출합니다. 파생물은 this처럼 보일 것입니다. 실제로 [gradx, grady]의 상징적 표현이이되기 전에 처럼 보이고 m 파일이 생성되었는지 확인했는지 확인했습니다.

Answer 1

질문에서 주어진 특정 문제를 해결하려면 실제로 이 기호 그라디언트와 비교하여 정확한 결과를 제공하지 않는다는 의미에서 phi을 계산하는 것이 었습니다. 나는 설명하려고 노력할 것이다. 여기에 당신이 xGrid 및 yGrid을 생성하는 방법입니다

% create a grid centered on the selected (x,y) pair 
xGrid = (x(i,1)-0.1):0.005:(x(i,1)+0.1); 
yGrid = (x(i,2)-0.1):0.005:(x(i,2)+0.1); 

그러나 다음 for 루프, ii 및 jj이 phi(jj,ii) 또는 gradx(ii,jj)처럼 사용 되었으나, 동일한 물리적 위치에 대응. 이것이 결과가 다른 이유입니다. 또 다른 문제는 gradient을 잘못 사용했기 때문입니다. Matlab은 [FX,FY]=gradient(phi)은 phi이 phi=f(x,y)에서 계산되는 것을 의미합니다. 여기서 x 및 y은 meshgrid을 사용하여 만든 행렬입니다. 당신은 효과적으로 phi의 요소를 다르게 배열 했으므로, gradient(phi)은 잘못된 대답을했습니다. jj과 ii을 뒤집을 때와 잘못된 그라디언트가있는 경우 오류가 취소되었습니다 (phi(ii,jj)을 먼저 시도한 후 작동하지 않는 것으로 확인한 후 phi(jj,ii)을 시도한 것으로 의심됩니다).

for ii = 1:length(xGrid) %// x loop 
    for jj = 1:length(yGrid) %// y loop 
     xp(i,:) = [X(ii,jj);Y(ii,jj)]; %// using X and Y not xGrid and yGrid 
     Xvec = reshape(xp.',1,size(x,1)*size(x,2)); 
     [gradx(ii,jj),grady(ii,jj)] = fun(Xvec,xd); 
     phi(ii,jj) = fun2(Xvec,xd); 
    end 
end 

[FX,FY] = gradient(phi,0.005); %// use the second argument of gradient to set spacing 

subplot(2,2,2*i-1) 
hold all 
axis([min(X(:)) max(X(:)) min(Y(:)) max(Y(:))]) %// use axis rather than xlim/ylim 
quiver(X,Y,gradx,grady) 
contour(X,Y,phi) 
title(strcat('Analytic result for position ',int2str(i))); 
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 

subplot(2,2,2*i) 
hold all 
axis([min(X(:)) max(X(:)) min(Y(:)) max(Y(:))]) 
quiver(X,Y,FX,FY) 
contour(X,Y,phi) 
title(strcat('Numerical result for position ',int2str(i))); 
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 

: 당신이에 fun 및 fun2를로드 한 후 다음 코드를 변경

[X,Y]=meshgrid(xGrid,yGrid); 

:

어쨌든, xGrid 및 yGrid을 만든 후 라인에, 그것을 모두 밖으로 정렬하려면에 넣고

---

코드에 대한 다른 의견이 있습니다. 나는 당신의 잠재적 인 기능이 온갖 종류의 문제를 일으키는 잘못 정의되어 있다고 생각합니다.

norm(x(1,:)-xd)/norm(x(1,:)-x(2,:)); 
norm(x(2,:)-xd)/norm(x(1,:)-x(2,:)); 
norm(x(3,:)-xd)/norm(x(1,:)-x(2,:)); 

과 : 당신은 다음과 같은 세 가지 잠재력이있을 것이다, 당신은 x은 NX2 매트릭스라는 질문에 말하지만, N 세라면 의미

norm(x(i,:)-xd)/norm(x(1,:)-x(2,:)); 

당신은 잠재적 인 기능 정의 나는 세 번째 것이 의미가 있다고 생각하지 않는다. 나는 이것이 그라디언트와 혼란을 일으킬 수 있다고 생각한다.

실제 코드에 .m 파일 기능을 만드는 이유가 있는지는 확실하지 않지만 게시 한 코드에는 필요하지 않습니다.