AVL 트리의 노드 수에 대한 되풀이 관계를 해결 하시겠습니까?

Question

우리는 AVL 나무의 분석에 제공이 점화식 가지고 있다고 가정하자 :

• F를 = 1
• F = 2
• F _N = F _{N - 1 + F N - 2} + 1 (N ≥ 3)

F (n)에 대해 닫힌 양식을 얻기 위해이 재발을 어떻게 풀습니까? 이 숫자는 높이 n 인 AVL tree에있는 내부 노드의 최소 수를 가져 오는 데 사용됩니다.

Answer 1

이 재발을 푸는 방법에는 여러 가지가 있지만 대부분은 꽤 복잡합니다.

• F (1) 1
• F (2) = 2
• F를 = :이 작업을 수행하는 가장 쉬운 방법은 시리즈의 몇 가지 측면을 확장하고 무엇을 발견 볼 수있을 거라고 생각 (3) =이 살펴 경우 4
• F (4) = 7
• F (5) = 12
• F (6) 20

을 =, 당신은 알게 될 것이다 저것은 followi NG가 원하는 분야

• F (1) = 1 = 1 - 2
• F (2) = 2 = 1 - 3
• F (3) = 4 = 1 - 5
• F를 (4) = 7 = 8 - 1
• F (5) = 12 = 13 - = (6) 1
• F (20) = (21) - 이들 용어는 불과 측면은 마치 1

피보나치 시리즈에서 1을 뺀 것. 특히, F = 2, F = 3, F = 5 등이있다.1 = F ₃ - - 1

F (2) = 3 - 1 = F ₄ - 1

패턴

• F (1) = 2처럼 따라서 보이는 F (3) = 1 - 5 = F ₅ - 1
• F (4) = 8 - 1 = F ₆ - 1
• F (5)가 13 - 1 = F ₇ - 1
0 1 = F ₈ - -
• F (6) 21 = 1 우리가 할 수 - 패턴 F (N) = F _{는 N + 2}처럼 1

그래서,보다 일반적으로, 보이는

자료의 경우 :이 사용 수학적 귀납법 공식화하려고

• F (1) = 1 = 1 - 2 = F -1
• F (2) = 2 = 3 - 1 = F ₄ - 1

유도 단계 - 1, F (N + 1) = F _{N + 3} F (N) = F _{N + 2} 가정 - 1. 다음 우리 갖도록

• F (2, N +) = F (N) + F (N + 1) + 1 = F _{N + 2} - 1 + F _{N + 3} - 1 + 1 = (F_{n + 2} + F_{n + 3}) - (1 + 1) + 1 = F,210 N + 4-1 _{= F (N + 2) + 2}-1

잇 늘리면! 유도가 체크 아웃합니다.

그래서 피보나치 시리즈로 그 패턴을 찾은 것 같습니까? 음 ... 재귀 적 정의는 피보나치 시리즈와 비슷하게 보였으므로 두 가지 사이에 어떤 종류의 연관성이있을 것으로 예상됩니다. 모든 것이 피보나치 숫자에서 1을 뺀 것이라는 관찰을하는 것은 창조적 인 통찰이었습니다. 당신은 잠재적으로 생성 함수 나 다른 조합 트릭을 사용하여이 문제를 해결하려고 할 수 있습니다. 그러나 나는 그들에 대해 많은 전문가가 아닙니다.

희망이 도움이됩니다.