슈뢰딩거 방정식을 풀기위한 실제 유한 차분 접근법

Question

무한한 양자 우물에 한정된 입자의 고유 벡터를 플롯하기위한 간단한 코드를 작성했습니다. 실 공간 유한 차분 법을 사용했습니다.

import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import numpy.linalg as la 

L=12 #length of the well,unit:Ang 
a0=0.52917721 #unit of length in atomic system, given in Ang 
k=0 # quantum number 

#Atomic unit conversion 
L_au=L/a0 

n=1000 
h=L_au/n 

c0=1/(h**2) 
c1=-1/(2*h**2) 

#kinetic energy 
T=c0*np.diag(np.ones(n-1))+c1*np.diag(np.ones(n-2),1) \ 
      +c1*np.diag(np.ones(n-2),-1) 

x=np.arange(0,L_au,h) 

#Hamiltonian 
H=T 
val,vec=la.eigh(H) 
plt.plot(x[:-1],vec[:,k]) 

코드는 본질적으로 간단하지만 나는 그것을 그릴 때 나는 잘 정규화 된 정현파 고유 상태를하지 않는 : 여기 내 코드입니다. 출력은 다음과 같습니다. :

정규화되지 않았 음을 알 수 있습니다. 나는 수직축이 L에 의존하는 변수로 곱 해져야한다고 생각한다. 나는 어떤 힌트도 감사 할 줄 모른다.

편집 1 : 정규화되지 않았다는 것을 자세히 설명하겠습니다. 이 조건에 해당하는 경우 양자 물리학에서, 파동 함수의 PSI (X)는 정규화 말한다 : 정상화

그래서 우리가 확인해야 그 공간 전체에 걸쳐 파동 함수의 제곱의 적분 위의 다이어그램에서는 그렇지 않습니다. 문제가 내 코드와 관련이 있는지 또는 문제를 이해했는지는 알 수 없습니다.

자세한 내용은 this article, 15 페이지를 참조하십시오.

EDIT 2 : 사실, 정규화하려는 경우 다이어그램의 피크 값은 0.46이어야하지만 내 경우에는 약 0.046입니다. 따라서 정규화하기 위해 10을 곱해야 할 필요가 있다고 들립니다. 그러나 나는 L을 바꾸려고 시도했고 다른 곱셈 요소를 얻었다.

나는 질문이 여전히 대부분의 사람들에게 모호하게 보일 수도 있음을 알고 있습니다. 그러나 모든 것을 자세하게 말하고 싶으면 책을 쓸 필요가 있으며 불가능합니다. 그러나 위에서 언급 한 기사를 읽으면 필자가 작성한 코드를 잘 이해할 수 있습니다.

Answer 1

코드를 자세하게 살펴 보지 않고 미분 방정식만으로는 물리적 모델을 완전히 설명 할 수 없다는 것을 기억하십시오. 경계 조건은 종종 매우 중요한 역할을합니다.

예를 들어, 양자 시스템 (여기에서와 같이)의 경우 물리적 시스템의 경우 파동 함수가 정규화되어야하고 슈뢰딩거 방정식 (SE)에 대한 몇 가지 가능한 솔루션이 신체적으로 유효합니다. 따라서이 경계 조건 (정규화 된 파동 함수)이 도입되고 SE 자체가 아닌 솔루션이 개별화됩니다.

다른 말로 표현하면, SE 또는 아무것도 내장되지 않은 정규화는 여전히 정규화 할 수없는 솔루션을 허용합니다. (Btw, 이것은 실제로 일부 모델에서 유용한 속성입니다.) 정규화 은 SE에 대한 솔루션을 확인하고 물리적으로 유효하지 않은 것을 무시해야하는 항목입니다.

또한 경계 조건에 대해서도 잠재 우물 가장자리의 조건을 고려 했습니까?