Zeckendorf와 Golden Ratio Base 사이의 변환

Question

Zeckendorf와 Golden Ratio Base는 분명히 밀접한 관련이 있지만 여전히 서로 변환하는 것이 까다로울 수 있습니다. 나는 이것에 Frougny와 Sakarovitch 에의 한 일이다는 것을, 그러나 나는 이것을 완전히 이해하지 않았다는 것을 알고있다. 한 가지 문제는 Golden Ratio Base 표현이 기수 점을 중심으로 대칭이라는 것인데, 이는 이러한 표현이 컨텍스트가없는 것일 수 있음을 암시합니다. Sakarovitch와 Frougny는 "Folded"Golden Ratio Base numbers를 사용하여 이것을 처리합니다. 이 변형 된 표현을 사용하면 유한 상태 변환기로 변환 할 수 있지만 이것이 어떻게 작동하는지 파악하지 못했습니다.

골든 비율베이스의 부분 대칭에 대해서는 뿌리가 쌍을 이루는 것과 관련이 있습니다 (George Bergman (PC)의 설명이 더 있음).

두 표현의 관계에 대해 알고있는 한 가지 사실은 d-1 ... d_i * d_j ... d_n (기수 점으로 '*'사용) 형식의 모든 황금 비율 기본 표현에 대한 것입니다. 피보나치 수열을 포함하는 대응하는 방정식이있다 :

Example 4 = 101.01 <=> 4f_n = f_{n+2} + f_n + f_{n-2} (with f_0 = f_1 = 1 
                  and f_n = f_{n-1} + f_{n-2}) 
For n=3, f_n=3: 12 = 10101 
for n=4, f_n=5: 20 = 101010 
for n=5 f_n=8: 32 = 1010100  

(전체 4 황금 비율 기본 표현과 같은 Zeckendorf 비트 패턴을 가질 수의 전체 시리즈가있다 등). 이것은 도움이되어야하는 것처럼 보이지만 어떻게 될까요?

이 패턴은 D. Gerdemann, Zeckendorf 가족 정체성의 조합 증거 Fibonacci Quarterly, 2008/2009에서 논의됩니다.

BTW : 피보나치 분기 별 신문을 가지고 있음에도 불구하고, 나는이 분야에서 엄격하게 아마추어입니다. 내가 묻고있는 격차를 포함하여 많은 지식 격차가있다.

Answer 1

나는이 대답이 파티에 1.75 년 늦었다 고 알고있다. 그러나 아무도 그 질문에 대답하려고 노력하지 않았고 피보나치 숫자, Zeckendorf 표현 및 황금 비율 기초 사이의 연결을 탐색하고 있었으므로 앞으로 진행하겠습니다. 관련 연구에서 내가 찾은 내용을 게시하고 답변에서 가장 좋은 답변을 게시하십시오.

지금부터 golden ratio base을 간결하게하기 위해 기본음 또는 보조자로 사용하겠습니다.

베이스 파이는 보다 Lucas numbers에 더 강하게 묶여있어 직접 변환했을 때의 어려움을 설명합니다.

L[n] = phi^n + (-1/phi)^n 그래서 n 번째 :

L[n] = F[n-1] + F[n+1]

및

5 * F(n) = (L[n-1] + L[n+1])

루카스 번호는 기본 파이에이 방법을 관련 :하지만 루카스 번호에 의해 피보나치 수와 관련된 루피아 수에 대해 기본 파이의 -n 번째 숫자가 설정됩니다.

파이의 힘의 측면에서 피보나치 수 F[n]의 직접적인 표현은 다음과 같습니다

:

F[n] = (phi^n - (-1/phi)^n)/sqrt(5)에 phinary에 번역

(대신 더하기 기호의 마이너스 기호를 통지) F[n] = (10^n - (-0.1)^n)/10.1

이제 sprt(5)은 10.1로 직접 표현할 수 있지만, intege 인 경우 피보나치 수를 균등하게 나눕니다. 5와 그것의 배수가 유일한 정수인 sqrt(5)이 나뉘기 때문에 r에는 5의 인수가 있습니다. 즉, 기본 파이에서 5는 소수가 아니지만 sqrt(5)은입니다 (기술적으로는 원시적 인 소수 임). sqrt(5)은 정수와 비슷한 방식으로 동작합니다. 실제로 기본 피에서 유한 표현 가능한 모든 숫자는 정수와 비슷한 동작으로 인해 Dirichlet Integer이라고 불립니다.

위의 수식은 this web page에 있으며 피보나치 수, 루카스 수 및 파이 사이의 관계에 대한 자세한 정보가 있습니다.

알고리즘에 대한 시도입니다. 나는 실수를 찾아 수정하도록 커뮤니티에 요청합니다. I는 표현은 N 0에서 Zeckendorf 어레이 및 N에 -n에서 Phinary 어레이 배열에 저장된 Zeckendorf베이스 피 가정하고있어, 및 I는 C 형 의사가 사용하고

for (int n = 0; n < length(Zeckendorf); n++) { 
    if (Zeckendorf[n] == 1) { 
     Phinary[n] = 1; 
     /* in a real array, the negative n needs to be offset like fixed point */ 
     Phinary[-n] = -1; /* negative phinary digits 
     can be converted to positive ones later 
     (see Golden Ratio Base article on wikipedia) */ 
    } 
} 
Standardize(Phinary); /* Change -1's to 1's with 0,-1,0 -> -1,0,1 
negatives will eventually cancel with their positive 1 neighbors to the left. */ 
/* Divide by sqrt 5 = 10.1 in phinary */ 
Sqrt5[-1 .. 1] = {1, 0, 1} 
PhinalNumber = PhiDivide(Phinary, Sqrt5); 

을 최소 형식에 표준화하기위한 방법은 위키 피 디아 문서 golden ratio base에 문서화되어 있으며 구분은 Euclidean Division algorithm을 사용하여 수행 할 수 있습니다.

더 나은 접근법은을 사용하여 "기수 주위에서 다소 대칭 인"속성이 "0 번째 숫자 주변에서 완전히 대칭"되는 속성 (미러 대칭 속성이라고 함)이되도록합니다. 그것을 설명하는 논문은 Alexey Stakhov의 "Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic"입니다.