MATLAB Optimization Toolbox를 사용하여 최소 제곱 원 피팅

Question

this 용지에 이어 최소 제곱 원 피팅을 구현하려고합니다 (게시 할 수 없습니다). 논문은 특정 점 (Xi)과 원상의 대응 점 (Xi ') 사이의 유클리드 거리 (Xi ")로서 기하학적 오차를 계산함으로써 원을 적합시킬 수 있다고 기술하고있다. Xc (원의 중심 인 좌표의 벡터)와 R (반경)의 세 가지 매개 변수가 있습니다. 그러나

function [ circle ] = fit_circle(X) 
    % Kör paraméterstruktúra inicializálása 
    % R - kör sugara 
    % Xc - kör középpontja 
    circle.R = NaN; 
    circle.Xc = [ NaN; NaN ]; 

    % Kezdeti illesztés 
    % A köz középpontja legyen a súlypont 
    % A sugara legyen az átlagos négyzetes távolság a középponttól 
    circle.Xc = mean(X); 
    d = bsxfun(@minus, X, circle.Xc); 
    circle.R = mean(bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2))); 
    circle.Xc = circle.Xc(1:2)+random('norm', 0, 1, size(circle.Xc)); 

    % Optimalizáció 
    options = optimset('Jacobian', 'on'); 
    out = lsqnonlin(@ort_error, [circle.Xc(1), circle.Xc(2), circle.R], [], [], options, X); 
end 
%% Cost function 
function [ error, J ] = ort_error(P, X) 
    %% Calculate error 
    R = P(3); 
    a = P(1); 
    b = P(2); 

    d = bsxfun(@minus, X, P(1:2));  % X - Xc 
    n = bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2)); % || X - Xc || 
    res = d - R * bsxfun(@times,d,1./n); 
    error = zeros(2*size(X,1), 1); 
    error(1:2:2*size(X,1)) = res(:,1); 
    error(2:2:2*size(X,1)) = res(:,2); 
    %% Jacobian 
    xdR = d(:,1)./n; 
    ydR = d(:,2)./n; 
    xdx = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,1).^2*R)./n.^3,1); 
    ydy = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,2).^2*R)./n.^3,1); 
    xdy = (d(:,1).*d(:,2)*R)./n.^3; 
    ydx = xdy; 

    J = zeros(2*size(X,1), 3); 
    J(1:2:2*size(X,1),:) = [ xdR, xdx, xdy ]; 
    J(2:2:2*size(X,1),:) = [ ydR, ydx, ydy ]; 
end 

피팅 :

나는 다음과 같은 MATLAB 코드 (이 이미지에 표시된대로 내가 원,하지 구에 맞게 노력하고 있습니다)를 내놓았다 너무 좋지 않습니다. 좋은 매개 변수 벡터로 시작하면 알고리즘은 첫 번째 단계에서 끝나기 때문에 (지역 최소값이 있어야합니다), 시작 지점을 잡음이있는 원으로 교란하면 피팅이 멈 춥니 다. 매우 큰 오류. 나는 내 구현에서 뭔가를 간과했는지 확신한다.

Answer 1

가치가있는 것을 위해, 저는 얼마 전에 MATLAB에서 이러한 방법을 구현했습니다. 그러나 손으로 구현 한 회귀를 사용하기 때문에 나는 정확히 lsqnonlin 등을 알기 전에 분명히했습니다. 아마 느릴 수 있지만 코드와 비교하는 데 도움이 될 수 있습니다.

function [x, y, r, sq_error] = circFit (P) 
%# CIRCFIT fits a circle to a set of points using least sqaures 
%# P is a 2 x n matrix of points to be fitted 

per_error = 0.1/100; % i.e. 0.1% 

%# initial estimates 
X = mean(P, 2)'; 
r = sqrt(mean(sum((repmat(X', [1, length(P)]) - P).^2))); 

v_cen2points = zeros(size(P)); 
niter = 0; 

%# looping until convergence 
while niter < 1 || per_diff > per_error 

    %# vector from centre to each point 
    v_cen2points(1, :) = P(1, :) - X(1); 
    v_cen2points(2, :) = P(2, :) - X(2); 

    %# distacnes from centre to each point 
    centre2points = sqrt(sum(v_cen2points.^2)); 

    %# distances from edge of circle to each point 
    d = centre2points - r; 

    %# computing 3x3 jacobean matrix J, and solvign matrix eqn. 
    R = (v_cen2points ./ [centre2points; centre2points])'; 
    J = [ -ones(length(R), 1), -R ]; 
    D_rXY = -J\d'; 

    %# updating centre and radius 
    r_old = r; X_old = X; 
    r = r + D_rXY(1); 
    X = X + D_rXY(2:3)'; 

    %# calculating maximum percentage change in values 
    per_diff = max(abs([(r_old - r)/r, (X_old - X) ./ X ])) * 100; 

    %# prevent endless looping 
    niter = niter + 1; 
    if niter > 1000 
     error('Convergence not met in 1000 iterations!') 
    end 
end 

x = X(1); 
y = X(2); 
sq_error = sum(d.^2); 

이 다음에 실행 :

X = [1 2 5 7 9 3]; 
Y = [7 6 8 7 5 7]; 
[x_centre, y_centre, r] = circFit([X; Y]) 

그리고 플롯 :주기

[X, Y] = cylinder(r, 100); 
scatter(X, Y, 60, '+r'); axis equal 
hold on 
plot(X(1, :) + x_centre, Y(1, :) + y_centre, '-b', 'LineWidth', 1); 

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