mathematica에서 의미있는 오류 플롯을 만드는 법?

Question

내가하려고하는 것이 의미가 있는지 확실하지 않습니다. 저는 mathematica에서 몇 가지 코드를 프로토 타이핑하고 있습니다. 어느 날 C++로 작성하려고합니다. 내가 (MS VC++ 컴파일러를 사용함에 따라) 배정도로만 계산할 수있는 환경.

나는 함수 f를 근사화하는 다항식을 가지고 있으며, 나는 에러 곡선을 그리기를 원한다. 다항식의 계수는 정밀도를 계산하기 위해 계산되었습니다 (C++의 경우와 같음). 그러나 상대 오차를 플롯하면 수치 잡음의 음모를 얻을 수 있습니다. 다항식은 테일러 다항식이므로 오차는 매끄러운 곡선이 될 것으로 기대합니다. 어떻게하면 더 합리적인 줄거리를 얻을 수 있습니까? 아래의 코드는 Cos 함수를 테스트 케이스로 사용하여 수행하려는 작업을 보여줍니다. 음모의 결과는 수치적인 잡음뿐입니다.

f[x_] = Cos[x] 
a[k_] := N[(-1)^k/(2*k)!] 
approx[x_] := Sum[a[k]*x^(2*k), {k, 0, 12}] 
Plot[approx[x]/f[x] - 1, {x, -Pi, Pi}, WorkingPrecision -> 30] 

나는 계수 a[k]이 계산되는 정밀도를 높일 수 있습니다.

a[k_] := N[(-1)^k/(2*k)!,30] 

더 현명한 플롯을 얻기 위해서이지만 이것은 프로토 타입 코드의 목적에 어긋납니다. 왜냐하면 결국 C++로 작성한 근사값의 오류 플롯을 그래프로 나타 내기 때문입니다. 그리고 그 환경에서 계수는 배정도로만 계산됩니다.

나는이 테스트가 의미가 있다고 생각합니까 ?? 내 approximation 기계 정밀도에 대한 정확한 것으로 기대하지만 오류 곡선을 그릴 수 있습니까?

읽어 주셔서 감사합니다. Pi/2 또는 -Pi/2 중 하나를 포함하는 범위 approx[x]/Cos[x] - 1 계획을 세우고 모든

Answer 1

먼저 만 Cos[x] 그 지점에서 0이 같은 문제를 일으킬 것입니다. 이 시점에서 approx은 거의 0이지만 정확하지는 않습니다. 또한 Cos[x]은 나누기 전에 숫자 0으로 변환되기 전에 대수적으로 0으로 평가되므로 해당 지점에서 스파이크가 표시됩니다. 좀 더 분별있는 지역에 걸쳐 플롯 할 때

둘째,

Plot[approx[x]/f[x] - 1, {x, 0, 0.5}, WorkingPrecision -> 30, PlotRange -> All] 

나는 기계 정밀도 근처에서 작동 할 때 내가 예상 정확히 무엇

를 얻을. 각 스파이크는 대략 단일 비트와 같습니다.

마지막으로 원하는 전체 도메인에서 좋은 근사값을 원하면 확장 지점 주변의 테일러 확장을 사용하지 않을 것입니다. 대신 Chebyshev polynomials을 사용하여 min-max approximation을 보았습니다. 나는 각 시리즈와 Cos 사이의 절대 차를 세우고있어 경우 예를 들어, 14 개 조항에 밖으로 체비 쇼프 시리즈와 테일러 시리즈를 복용

을 제공합니다. 왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이 Chebyshev 시리즈는 Taylor 시리즈보다 훨씬 전반적으로 성능이 뛰어납니다.