최소 거리 찾기

Question

d0 + d1을 최소화하는 주어진 원 (또는 곡선)에서 점을 찾아야합니까? 곡선의 반경과 중심은 각각 (0,0)과 'r'이고 점 A와 B의 좌표는 알려져 있습니다. A = (x1, y1) 및 B = (x1, -y1) 및 r> sqrt (x1^2 + y1^2)라고합시다. 원 원 따라

점 C 이동에 C로 B 사이의 거리 D1 - 원 에 C로의 사이의 거리 - C는 길이 D0 + D1 D0을 최소화한다 원의 미지의 지점이다. d0 + d1을 최소화하는 주어진 원 (또는 곡선)에서 점을 발견해야합니까?

Answer 1

일반적인 경우는 매우 복잡하다 "라인 원형 교차로를"구글 수있는 첫 번째 경우지만, 센터 원과 함께 특별한 상황

A=(x1,y1) 및 B=(x1,-y1) 및 r > sqrt(x1^2+y1^2)

들어 원점은 최소한 상황에 따라 솔루션을 사용할 수 있도록 충분한 대칭을 가지고 있습니다. 나는 A ≠ B (동등하게는 y1 ≠ 0)이라고 가정하고 있습니다. 그렇지 않으면 문제는 원에 대해 사소한 것입니다.

과 Q 사이의 유클리드 거리를 dist(P,Q)으로합시다. A 및 B 접속 (폐쇄) 선분 D > dist(A,B) 들어

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B) 

요점 P의 궤적

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D 

와 점의 궤적 것은 그 초점 A 및 B이다 타원 E(D)이다. P을 원의 한 점이라하고 D = f(P)이라고합시다.

• 점 P의 원과 타원 E(D)에 접선이 일치하지 않는 경우
  , P 로컬 최소한도 원으로 제한 f의 로컬 최대 아닙니다.
• 접선이 일치하고 원의 곡률이 P의 E(D)의 곡률보다 큰 경우 P은 원으로 제한된 f의 분리 된 최대 값입니다.
• 접선이 일치하고 원의 곡률이 P의 E(D)의 곡률보다 작 으면 P은 원으로 제한된 f의 격리 된 로컬 최소값입니다.
• 는
• P
는도 상기 원형에 한정 f의 격리 된 로컬 최소 접선이 일치하고, 원의 만곡 한 다음,
• PP에 E(D)의 곡률 같으면된다 dist(P,A) = dist(P,B) 경우 지역 최대 값 또는 지역 최소값이 f 인 경우 원으로 제한됩니다. 우선

가 x1 = 0하면 쉽게 알 수있다 f 최소화 원호상의 점, 0 즉 P1 = (0,r) 및 P2 = (0,-r)를 x 좌표와 점 있음 (여기서 기하학적 명확하지 않다). [r² ≤ x1² + y1² 일 경우에도 마찬가지입니다.] x1 ≠ 0을 일반성을 잃지 않고 x1 > 0으로 가정합니다. 그렇다면 f을 최소화하는 원의 P = (x,y) 점이 x > x1이어야합니다. 상황의 대칭에 따라 점 R = (r,0)은 원으로 제한된 로컬 최소값 또는 로컬 최대 값 f이어야합니다.

R 근처 f 동작을 컴퓨팅 한

r ≥ (x1² + y1²)/x1 

가 R 때문에 작은 E(f(R))의 곡률 (및 E(f(R))에 R의 접선과의 점의 경우에만

R 로컬 최소하다고 판단 동그라미가 일치 함), R 또한 전역 최소값입니다.

r < (x1² + y1²)/x1 인 경우 R은 원으로 제한된 f의 최대 값입니다. 그런 다음 f에는 동일한 x 좌표로 원에 두 개의 전역 최소 점이 있습니다. 불행히도, 나는 그들을 계산할 수있는 좋은 공식이 없으므로, 반복 검색보다 나은 방법을 제공 할 수는 없습니다.

Answer 2

AB가 원과 교차하는 경우 C는 교차점입니다 (두 개의 교차점이있을 수 있으며 두 점 모두 동등한 거리 d0+d1입니다!). AB는 원을 교차하지 않는 경우

후 C 라인 원 중심에 가장 가까운 AB 위의 점에서 가상의 선을 교차 원의 포인트입니다. 두 번째 경우를 해결할 온라인 다른 점에 가장 가까운 라인에 포인트를 찾을 방법과 두 줄 사이의 교차점을 찾을 수있는 방법에 대한 많은 기사가있다

있습니다. 당신이